Giải bài tập 1.15 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 \(c{m^3}\). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/\(c{m^2}\), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/\(c{m^2}\). Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy và chiều cao của bình) để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, x > 0).

Chiều cao của bình là: \(\frac{{1000}}{{\pi .{x^2}}}\) (cm).

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là:

\(T\left( x \right) = 2.1,2.\pi .{x^2} + 0,75.\frac{{2000}}{x} \)

\(= 2,4\pi .{x^2} + \frac{{1500}}{x}\) (nghìn đồng).

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

\(T'\left( x \right) = 4,8\pi x - \frac{{1500}}{{{x^2}}}\);

\(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}\) (thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là \(\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}\) (cm) và chiều cao của bình là \(\frac{{1000}}{{\pi .{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{625}}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}}\) (cm).