Bài 87 trang 19 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Với ba số  $a, b, c$ không âm, chứng minh bất đẳng thức: 

$a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm. 

Lời giải chi tiết

Cách 1: 

Vì $a, b$ và $c$ không âm nên $\sqrt a;\sqrt b$ và $\sqrt c$ tồn tại.

Ta có: ${\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{ & a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr  & \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr}$

${\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{ & b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr  & \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr}$

${\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0$ suy ra:

$\eqalign{ & c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr  & \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr}$

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

$\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2}$$\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$ 

$\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2}$$\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$ 

$\Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca}$

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm $a, b, c$ ta có:

$\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$ (1)

$\dfrac{{b + c}}{2} \ge \sqrt {bc}$ (2)

$\dfrac{{a + c}}{2} \ge \sqrt {ac}$ (3)

Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:

$a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ac}$

Suy ra, điều phải chứng minh.

+) Với bốn số $a, b, c, d$ không âm, ta có:

$a + b + c + d$$\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {da}$

+) Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

$a + b + c + d + e$$\ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {de}  + \sqrt {ea}$

Loigiaihay.com