Giải bài 8 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {x^2}) và (y = sqrt x ) (Hình 14). a) Tính diện tích của (D). b) Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục (Ox).

Quảng cáo

Đề bài

Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \sqrt x \) (Hình 14).

a) Tính diện tích của \(D\).

b) Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

‒ Sử dụng công thức: Tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) quay quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2} - {{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

a) \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x  - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x  - {x^2}} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3}\).

b) \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {{x^2}} \right)}^2}} \right|dx}  = \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^4}} \right|dx} \)

\(x - {x^4} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \({\rm{x}} = 1\).

\(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^4}} \right|dx}  = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^1} \right| = \frac{{3\pi }}{{10}}\).

  • Giải bài 9 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 15 (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.

  • Giải bài 10 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối). Gợi ý: Có thể coi bể cá là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = sqrt {4 - {x^2}} ) với ( - 2 le x le 1), trục hoành và đường thẳng (x = 1) quanh trục hoành.

  • Giải bài 7 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = 2{x^3}), trục hoành và hai đường thẳng (x = - 1,x = 1). a) Tính diện tích của (D). b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục (Ox).

  • Giải bài 6 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là (frac{{3pi }}{2}dm). Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là (xleft( {dm} right)) thì mặt nước là hình tròn có bán kính (sqrt {2 - sin x} left( {dm} right)) với (0 le x le frac{{3pi }}{2}). Tính dung tích của bình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).

  • Giải bài 5 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Kí hiệu (Sleft( a right)) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = frac{3}{{{x^2}}}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 1,x = a) với (a > 1) (Hình 12). Tính giới hạn (mathop {lim }limits_{a to + infty } Sleft( a right)).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close