Bài 73 trang 113 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn đường kính \(AB.\) Qua \(A\) và \(B\) kẻ hai tiếp tuyến của đường tròn đó. Gọi \(M\) là một điểm trên đường tròn. Các đường thẳng \(AM\) và \(BM\) cắt các tiếp tuyến trên lần lượt tại \(B’\) và \(A’.\)

\(a)\) Chứng minh rằng \({\rm{AA}}'.BB' = A{B^2}\)

\(b)\) Chứng minh rằng \(A'{A^2} = A'M.A'B\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét \(∆AA'B\) và \(∆BB'A:\)

\(\widehat {A'AB} = \widehat {B'BA} = {90^0}\)

\(\widehat {BB'A} = \widehat {ABA'}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {BAB'}\))

Suy ra: \(∆AA'B\) đồng dạng \(∆BAB'\; (g.g)\)

\(\displaystyle {{AA'} \over {BA}} = {{AB} \over {BB}} \Rightarrow AA'.BB' = A{B^2}\)

\(b)\) \(\widehat {AMB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow AM \bot A'B\)

\(∆AA'B\) vuông tại \(A.\) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(AA{'^2} = A'M.A'B\)

Loigiaihay.com