Giải bài 72 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC}\) = 60°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B   

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R

c) Diện tích của tam giác ABC

d) Độ dài đường cao xuất phát tử A

e) \(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC} \) với M là trung điểm của BC

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)\( = {4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {60^0} = 28\) \( \Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \)

+ \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} \Rightarrow \widehat B \approx {79^0}\)

b) Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{5}{{2.\sin {{60}^0}}} \approx 3\)

c) Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.4.6.\sin {60^0} \approx 10\)

d) Gọi AH là một đường cao của tam giác ABC

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} \approx 4\)

e) Ta có:

+\(\overrightarrow {AB.} \overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.6.\cos {60^0} = 12\)

+ Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

 \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{2}.12 + \frac{1}{2}{.6^2} = 24\)