Giải bài 6 trang 46 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A'B'C'D') có (DA = 2,DC = 3,DD = 2). Tính khoảng cách từ đỉnh (B') đến mặt phẳng (left( {BA'C'} right)).

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(DA = 2,DC = 3,DD = 2\).

Tính khoảng cách từ đỉnh \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gắn vào hệ trục toạ độ và sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng \(DA,DC,DD'\) đôi một vuông góc.

Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) thoả mãn \(D\left( {0;0;0} \right),A\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;3;0} \right),D'\left( {0;0;2} \right)\).

Khi đó \(B\left( {2;3;0} \right),B'\left( {2;3;2} \right),A'\left( {2;0;2} \right),C'\left( {0;3;2} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {BA'}  = \left( {0; - 3;2} \right),\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 2;0;2} \right)\).

Khi đó, \(\left[ {\overrightarrow {BA'} ,\overrightarrow {BC'} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right).2 - 2.0;2.\left( { - 2} \right) - 0.2;0.0 - \left( { - 3} \right).\left( { - 2} \right)} \right) = \left( { - 6; - 4; - 6} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) là:

\( - 6\left( {x - 2} \right) - 4\left( {y - 3} \right) - 6\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6x - 4y - 6{\rm{z}} + 24 = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} + 2y + 3{\rm{z}} - 12 = 0\).

Khi đó khoảng cách từ điểm \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {BA'C'} \right)\) bằng:

\(d\left( {B',\left( {BA'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 2.3 + 3.2 - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {22} }}{{11}}\).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close