Giải bài 2 trang 45 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2;3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {3;1; - 2} \right)$;

b) $\left( P \right)$ đi qua điểm $N\left( { - 2;3;0} \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow v  = \left( {3;0;4} \right)$.

c) $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A\left( {1;2;2} \right),B\left( {5;3;2} \right),C\left( {2;4;2} \right)$;

d) $\left( P \right)$ cắt ba trục toạ độ lần lượt tại các điểm $M\left( {3;0;0} \right),N\left( {0;1;0} \right),P\left( {0;0;2} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$3\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} + y - 2z + 1 = 0$.

b) Ta có: $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {1.4 - 1.0;1.3 - 1.4;1.0 - 1.3} \right) = \left( {4; - 1; - 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$4\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 3} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 3z + 11 = 0$.

c) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {4;1;0} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1;2;0} \right)$.

Khi đó, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1.0 - 0.2;0.1 - 4.0;4.2 - 1.1} \right) = \left( {0;0;7} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 7\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 7\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow z - 2 = 0$.

d) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $M\left( {3;0;0} \right),N\left( {0;1;0} \right),P\left( {0;0;2} \right)$ là:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{1} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 6y + 3{\rm{z}} = 6 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + 6y + 3{\rm{z}} - 6 = 0$.