Giải bài 6 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thức sau:

a) \({(1 - 3x)^8}\)

b) \({\left( {1 + \frac{x}{2}} \right)^7}\)

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(1 - 3x)^8} = C_8^0 + C_9^1\left( { - 3x} \right) + ... + C_8^k{\left( { - 3x} \right)^k} + ... + C_8^8{\left( { - 3x} \right)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{.1}^k}.{{\left( { - 3x} \right)}^{8 - k}}}  = \;\sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{.1}^k}.{{\left( { - 3} \right)}^{8 - k}}.{x^{8 - k}}} \)

Số hạng chứa \({x^3}\) ứng với \(8 - k = 3\) hay \(k = 5\). Do đó hệ số của \({x^3}\)  là

\(C_8^5{(- 3)^3} =-1512\).

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

\({(3x + 2)^9} = C_9^0{\left( {3x} \right)^9} + C_9^1{\left( {3x} \right)^8}2 + ... + C_9^k{\left( {3x} \right)^{9 - k}}{2^k} + ... + C_9^8\left( {3x} \right){2^8} + C_9^9{2^9}\)\( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k.{{\left( {3x} \right)}^k}{{.2}^{9 - k}}}  = \;\sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{.3}^k}{{.2}^{9 - k}}.{x^k}} \)

Số hạng chứa \({x^3}\) ứng với \(9 - k = 3\) hay \(k = 6\). Do đó hệ số của \({x^3}\)  là

\(C_9^6{3^6}{2^3} = 489888\)

\( = C_8^k{.1^k}.{\left( { - 3x} \right)^{8 - k}} = \;C_8^k{.1^k}.{\left( { - 3} \right)^{8 - k}}.{x^{8 - k}}\)