Giải bài 5 trang 63 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(O,O'\)lần lượt là tâm của các hình vuông \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\); \(I\) là giao điểm của \(AC'\) và \(A'C\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'}  = 4\overrightarrow {OO'} \);

b) \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DD'}  = 2\overrightarrow {DI} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OC'}  + \overrightarrow {OD'}  = \left( {\overrightarrow {OA'}  + \overrightarrow {OC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB'}  + \overrightarrow {OD'} } \right) = 2\overrightarrow {OO'}  + 2\overrightarrow {OO'}  = 4\overrightarrow {OO'} \)

b) Ta có: \(A'B'\parallel C{\rm{D}},A'B' = C{\rm{D}}\)

Suy ra \(A'B'C{\rm{D}}\) là hình bình hành.

Do đó \(A'C\) và \(B'D\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Vì \(I\) là trung điểm của \(A'C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B'D\).

Suy ra \(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {DB'}  = 2\overrightarrow {DI} \).