Giải bài 44 trang 74 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Tìm các số \(x,y\) thỏa mãn:

a) \(x - y = \frac{1}{4} - \sqrt 7 ;xy = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\)

b) \(x + y = \frac{1}{6};xy = \frac{{ - 1}}{6}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(x - y = \frac{1}{4} - \sqrt 7 \) nên \(x = \frac{1}{4} - \sqrt 7  + y\).

Do đó \(xy = \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7  + y} \right)y = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\) hay \({y^2} + \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right)y - \frac{{\sqrt 7 }}{4} = 0\)

Ta có \(\Delta  = {\left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right)^2} - 4.1.\frac{{ - \sqrt 7 }}{4} = \frac{{113 + 8\sqrt 7 }}{{16}} > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(\begin{array}{l}{y_1} = \frac{{ - \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right) - \sqrt {\frac{{113 + 8\sqrt 7 }}{{16}}} }}{2} = \frac{{\sqrt 7  - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {4\sqrt 7  + 1} \right)}^2}} }}{2} =  - \frac{1}{4};\\{y_2} = \frac{{ - \left( {\frac{1}{4} - \sqrt 7 } \right) + \sqrt {\frac{{113 + 8\sqrt 7 }}{{16}}} }}{2} = \frac{{\sqrt 7  - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\sqrt {{{\left( {4\sqrt 7  + 1} \right)}^2}} }}{2} = \sqrt 7 \end{array}\)

Với \(y =  - \frac{1}{4}\) ta có:

\(x = \frac{1}{4} - \sqrt 7  + y = \frac{1}{4} - \sqrt 7  - \frac{1}{4} =  - \sqrt 7 \)

Với \(y = \sqrt 7 \) ta có:

\(x = \frac{1}{4} - \sqrt 7  + y = \frac{1}{4} - \sqrt 7  + \sqrt 7  = \frac{1}{4}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - \sqrt 7 ;\frac{{ - 1}}{4}} \right);\left( {\frac{1}{4};\sqrt 7 } \right)} \right\}\).

b) Đặt \(x + y = S\) và \(xy = P\).

Ta có \({S^2} - 4P = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} - 4.\frac{{ - 1}}{6} = \frac{{25}}{{36}} > 0\) nên x, y là nghiệm của phương trình:

\({X^2} - \frac{1}{6}X - \frac{1}{6} = 0\) hay \(6{X^2} - X - 1 = 0\),

do đó \(\left( {3X + 1} \right) + \left( {2X - 1} \right) = 0\)

\(3X + 1 = 0\) hoặc \(2X - 1 = 0\)

\(X =  - \frac{1}{3}\) hoặc \(X = \frac{1}{2}\)

Vì vai trò của x và y là như nhau nên \(x = \frac{{ - 1}}{3};y = \frac{1}{2}\) hoặc \(y = \frac{{ - 1}}{3};x = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - \frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right);\left( {\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{3}} \right)} \right\}\)