Giải bài 4 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh rằng bất đẳng thức \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với \(n = 1\) ta có \(1 = \frac{{1 + 1}}{2}\)

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là có: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} \le \frac{{k + 1}}{2}\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là cần chứng minh \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 2}}{2}\)

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý \(k \ge 1\) ta có

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{k + 2}}{2}\)

Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).