Bài 3.46 trang 181 SBT giải tích 12

Giải bài 3.46 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:...

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Quảng cáo

Đề bài

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) \(\displaystyle  y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và \(\displaystyle  x = e\);

b) \(\displaystyle  y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle  y = \frac{1}{9}(x - 1)\);

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle  a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)

- Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng:

\(\displaystyle  S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + ... + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle   + ... + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\displaystyle  x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} = x - 1\)\(\displaystyle   \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Khi đó \(\displaystyle  S = \int\limits_1^e {\left| {x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} - x + 1} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{x}} \right|dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^e {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \) \(\displaystyle   = \left. {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2}} \right|_1^e = \frac{1}{2}\)

b) Ta có: \(\displaystyle  {x^3} - {x^2} = \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{9}} \right) = 0\) \(\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\\x =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\displaystyle  S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle   + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)

\(\displaystyle   = \left| {\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}} \right|\) \(\displaystyle   + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1} \right|\)

\(\displaystyle   = \left| {\frac{7}{{324}} + \frac{1}{{36}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{36}} - \frac{7}{{324}}} \right| = \frac{8}{{81}}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close