Bài 3.47 trang 181 SBT giải tích 12

LG câu a

$\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}},x = 0$ và tiếp tuyến với đường $\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}$ tại điểm có hoành độ $\displaystyle  x = 1$, quanh trục $\displaystyle  Oy$;

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}}$ tại điểm có hoành độ bằng $\displaystyle  1$.

- Rút $\displaystyle  x$ theo $\displaystyle  y$ và dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.

Chú ý: công thức $\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle  y' = \frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}}$.

Với $\displaystyle  x = 1$ thì $\displaystyle  y = 1$ và $\displaystyle  y'\left( 1 \right) = \frac{2}{3}$. Tiếp tuyến $\displaystyle  y = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right) + 1 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$

Có $\displaystyle  y = {x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x = {y^{\frac{3}{2}}}$ và $\displaystyle  y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2}$

Khi đó $\displaystyle  {y^{\frac{3}{2}}} = \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 1$. Ta có: $\displaystyle  \frac{3}{2}y - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}$

$\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{y^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy}$$\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {{y^3}dy}  - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {{{\left( {\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}} \right)}^2}dy}$

$\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{{y^4}}}{4}} \right|_0^1 - \pi \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left( {\frac{9}{4}{y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{1}{4}} \right)dy}$ $\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \pi .\left. {\left( {\frac{3}{4}{y^3} - \frac{3}{4}{y^3} + \frac{1}{4}y} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1$ $\displaystyle   = \frac{\pi }{4} - \frac{{2\pi }}{9} = \frac{\pi }{{36}}$

LG b

$\displaystyle  y = \frac{1}{x} - 1,y = 0,y = 2x$, quanh trục $\displaystyle  Ox$

Phương pháp giải:

Dựng hình rồi tính thể tích theo phương pháp cộng, trừ thể tích.

Giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}$; $\displaystyle  \frac{1}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$; $\displaystyle  2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Do đó $\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {{{\left( {2x} \right)}^2}dx}  + \pi \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {{{\left( {\frac{1}{x} - 1} \right)}^2}dx}$ $\displaystyle   = \pi .\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {4{x^2}dx}  + \pi .\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{x} + 1} \right)dx}$

$\displaystyle   = \pi .\left. {\frac{{4{x^3}}}{3}} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \pi \left. {\left( { - \frac{1}{x} - 2\ln x + x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1$ $\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \pi \left( {0 + 2 + 2\ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)$ $\displaystyle   = \frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2} - 2\pi \ln 2$

$\displaystyle   = \frac{{5\pi }}{3} - 2\pi \ln 2$

LG c

$\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|,y = 0$ và $\displaystyle  x = 3$, quanh:

* Trục $\displaystyle  Ox$

* Trục $\displaystyle  Oy$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\displaystyle  V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}$.

Giải chi tiết:

+) Quay quanh $\displaystyle  Ox$.

Ta có: $\displaystyle  \left| {2x - {x^2}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Khi đó $\displaystyle  V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2}dx}$ $\displaystyle   = \pi \int\limits_0^3 {\left( {4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}} \right)dx}$ $\displaystyle   = \pi \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} - {x^4} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^3$

$\displaystyle   = \pi \left( {\frac{{4.27}}{3} - {3^4} + \frac{{{3^5}}}{5}} \right) = \frac{{18\pi }}{5}$.

+) Quay quanh $\displaystyle  Oy$.

Ta có: $\displaystyle  y = \left| {2x - {x^2}} \right|$ $\displaystyle   \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x - {x^2}\\y =  - 2x + {x^2}\end{array} \right.$ $\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + y = 0\\{x^2} - 2x - y = 0\end{array} \right.$ $\displaystyle   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \pm \sqrt {1 - y} \\x = 1 \pm \sqrt {1 + y} \end{array} \right.$

Dựng hình:

Ta có: $\displaystyle  {V_y} = \pi \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right]dy}$ $\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left[ {{3^2} - {{\left( {1 + \sqrt {1 + y} } \right)}^2}} \right]dy}$

$\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 + 2\sqrt {1 - y}  + 1 - y - 1 + 2\sqrt {1 - y}  - 1 + y} \right)dy}$$\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - 1 - 2\sqrt {1 + y}  - 1 - y} \right)dy}$

$\displaystyle   = \pi \int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} dy}$ $\displaystyle   + \pi \int\limits_0^3 {\left( {7 - y - 2\sqrt {1 + y} } \right)dy}$

$\displaystyle   = 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy}$ $\displaystyle   + \pi \left[ {\left. {\left( {7y - \frac{{{y^2}}}{2}} \right)} \right|_0^3 - 2\int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy} } \right]$ $\displaystyle   = 4\pi I + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2J} \right)$

Tính $\displaystyle  I = \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy}$ ta có:

Đặt $\displaystyle  \sqrt {1 - y}  = t \Rightarrow 1 - y = {t^2}$ $\displaystyle   \Rightarrow  - dy = 2tdt \Rightarrow dy =  - 2tdt$

$\displaystyle   \Rightarrow I = \int\limits_1^0 {t.\left( { - 2tdt} \right)}$ $\displaystyle   = \int\limits_0^1 {2{t^2}dt}  = \left. {\frac{2}{3}{t^3}} \right|_0^1 = \frac{2}{3}$

Tính $\displaystyle  J = \int\limits_0^3 {\sqrt {1 + y} dy}$ ta có:

Đặt $\displaystyle  t = \sqrt {1 + y}  \Rightarrow {t^2} = 1 + y$ $\displaystyle   \Rightarrow 2tdt = dy$ $\displaystyle   \Rightarrow J = \int\limits_1^2 {t.2tdt}  = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{{14}}{3}$

Vậy $\displaystyle  V = 4\pi .\frac{2}{3} + \pi \left( {\frac{{33}}{2} - 2.\frac{{14}}{3}} \right) = \frac{{59\pi }}{6}$.

Loigiaihay.com