Bài 3.51 trang 182 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. $\displaystyle  \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\sin xdx}$

B. $\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\sin \frac{x}{2}dx}  = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$

C. $\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^x}dx}  = 0$

D. $\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left( {1 + x} \right)dx}  = \frac{2}{{2009}}$

Lời giải chi tiết

Đáp án A: Đặt $\displaystyle  t = 1 - x \Rightarrow dt =  - dx$

$\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx}  = \int\limits_1^0 {\sin t\left( { - dt} \right)}$  $\displaystyle  \int\limits_0^1 {\sin \left( {1 - x} \right)dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\sin tdt}  = \int\limits_0^1 {\sin xdx}$ nên A đúng.

Đáp án B: Ta có: $\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\sin \frac{x}{2}dx}  =  - \left. {2\cos \frac{x}{2}} \right|_0^\pi  = 2$.

$\displaystyle  2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}  =  - \left. {2\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2$ nên $\displaystyle  \int\limits_0^\pi  {\sin \frac{x}{2}dx}  = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ hay B đúng.

Đáp án D: $\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {{x^{2007}}\left( {1 + x} \right)dx}$ $\displaystyle   = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^{2007}} + {x^{2008}}} \right)dx}$ $\displaystyle   = \left. {\left( {\frac{{{x^{2008}}}}{{2008}} + \frac{{{x^{2009}}}}{{2009}}} \right)} \right|_{ - 1}^1$ $\displaystyle   = \frac{1}{{2008}} + \frac{1}{{2009}} - \frac{1}{{2008}} + \frac{1}{{2009}}$ $\displaystyle   = \frac{2}{{2009}}$ hay D đúng.

Đáp án C: 

Sai vì ${\left( {1 + x} \right)^x} \ge 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]$ nên nhờ ý nghĩa hình học của tích phân ta có $\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + x} \right)}^x}dx}  > 0$

Chọn C.

Loigiaihay.com