Bài 3.48 trang 181 SBT giải tích 12Giải bài 3.48 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:... Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau: LG a \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}dx} ;m,n \in {N^*}\) Phương pháp giải: Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm. Giải chi tiết: Đúng vì trong tích phân \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \), nếu đặt \(\displaystyle t = 1 - x\) thì \(\displaystyle dx = - dt\) \(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - t} \right)}^n}.{t^m}.\left( { - dt} \right)} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {{t^m}.{{\left( {1 - t} \right)}^n}dt} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {{x^m}.{{\left( {1 - x} \right)}^n}dt} \) LG b \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \) Phương pháp giải: Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm. Giải chi tiết: Ta có: \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \) (*) Dùng phương pháp đổi biến \(\displaystyle t = - x\) đối với tích phân \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \), ta được: \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}dx}}{{{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^{ - t}} + 1}}} } \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt} \) Thay vào (*) ta có: \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \)\(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt} + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t} + {t^2}}}{{{e^t} + 1}}dt} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}\left( {{e^t} + 1} \right)}}{{{e^t} + 1}}dt} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \) Vậy \(\displaystyle \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \). LG c \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\) Phương pháp giải: Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm. Giải chi tiết: Sai. Đặt \(\displaystyle \sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\) \(\displaystyle \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}s\cos xdx} \) \(\displaystyle = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{t^3}dt} \ne \int\limits_0^1 {{t^3}dt} \) Vậy c sai. Loigiaihay.com
Quảng cáo
|