Bài 3.44 trang 162 SBT hình học 11

Giải bài 3.44 trang 162 sách bài tập hình học 11. Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a...

Quảng cáo

Đề bài

Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh 7a, có cạnh SC vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SC = 7a.

a) Tính góc giữa SA và BC.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC. 

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của đoạn BC. Qua A vẽ AD song song với BC và bằng đoạn HC thì góc giữa BC và SA là góc \(\widehat {SA{\rm{D}}}\). Theo định lí ba đường vuông góc, ta có SD⊥DA và khi đó:

\(\cos \widehat {SAD} = {{AD} \over {SA}} = {{HC} \over {SA}} = {{{{7a} \over 2}} \over {7a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vậy góc giữa BC và SA được xác định sao cho \(\cos \widehat {SAD} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vì \(BC\parallel A{\rm{D}}\) nên BC song song với mặt phẳng (SAD). Do đó khoảng cách giữa SA và BC chính là khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng (SAD).

Ta kẻ CK⊥SD, suy ra CK⊥(SAD), do đó CK chính là khoảng cách nói trên. Xét tam giác vuông SCD với đường cao CK xuất phát từ đỉnh góc vuông C ta có hệ thức:

\({1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {S{C^2}}} + {1 \over {C{D^2}}} \Rightarrow {1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {{{\left( {7{\rm{a}}} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {{{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}}}\)

(vì \(CD = AH = {{BC\sqrt 3 } \over 2} = {{7{\rm{a}}\sqrt 3 } \over 2}\))

Do đó \({1 \over {C{K^2}}} = {1 \over {49{{\rm{a}}^2}}} + {4 \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {{3 + 4} \over {3.49{{\rm{a}}^2}}} = {1 \over {21{{\rm{a}}^2}}}\)

Vậy \(CK = a\sqrt {21} \)

Chú ý.  Nếu kẻ \(KI\parallel A{\rm{D}}\) và kẻ \(IJ\parallel CK\) thì IJ là đoạn vuông góc chung của SA và BC.

Loigiaihay.com

  • Bài 3.45 trang 162 SBT hình học 11

    Giải bài 3.45 trang 162 sách bài tập hình học 11. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi...

  • Bài 3.46 trang 162 SBT hình học 11

    Giải bài 3.46 trang 162 sách bài tập hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy tính góc của các cặp đường thẳng sau đây: a) AB’ và BC’ b) AC’ và CD’

  • Bài 3.47 trang 162 SBT hình học 11

    Giải bài 3.47 trang 162 sách bài tập hình học 11. Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN...

  • Bài 3.48 trang 162 SBT hình học 11

    Giải bài 3.48 trang 162 sách bài tập hình học 11. Hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và có OB = (a√3)/3. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O ta lấy một điểm S sao cho SB = a...

  • Bài 3.49 trang 163 SBT hình học 11

    Giải bài 3.49 trang 163 sách bài tập hình học 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC....

Quảng cáo
list
close
Gửi bài