Giải bài 33 trang 57 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Tìm $m$ để phương trình $- {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m - 10 = 0$ có nghiệm

Lời giải chi tiết

Hàm số $- {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m - 10 = 0$ có:

 $\begin{array}{l}a =  - 1 \ne 0,b = m + 2,c = 2m - 10\\ \Rightarrow \Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( { - 1} \right)\left( {2m - 10} \right)\end{array}$

+ Phương trình $f\left( x \right) =  - {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 2m - 10 = 0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  \ge 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 12m - 36 \ge 0$

+ Giải bất phương trình ${m^2} + 12m - 36 \ge 0$

Tam thức bậc hai ${x^2} + 12x - 36$ có hai nghiệm ${x_1} =  - 6 - 6\sqrt 2 ;{x_2} =  - 6 + 6\sqrt 2$ và có hệ số $a = 1 > 0$

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của $x$ sao cho tam thức ${x^2} + 12x - 36$ mang dấu “+” là $\left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)$

Do đó tập nghiệm của BPT ${m^2} + 12m - 36 \ge 0$ là $\left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)$

Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 6 - 6\sqrt 2 } \right] \cup \left[ { - 6 + 6\sqrt 2 ; + \infty } \right)$ thì phương trình trên có nghiệm