Giải bài 32 trang 57 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0\) và \( - 2{x^2} - 9x + 11 > 0\)

Lời giải chi tiết

+ Tam thức bậc hai \( - 3{x^2} + 7x + 10\) có hai nghiệm \({x_1} =  - 1;{x_2} = \frac{{10}}{3}\) và có hệ số \(a =  - 3 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 3{x^2} + 7x + 10\) mang dấu “+” là \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0\) là \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\)

+ Tam thức bậc hai \( - 2{x^2} - 9x + 11\) có hai nghiệm \({x_1} =  - \frac{{11}}{2};{x_2} = 1\) và có hệ số \(a =  - 2 < 0\)

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của \(x\) sao cho tam thức \( - 2{x^2} - 9x + 11\) mang dấu “+” là \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 2{x^2} - 9x + 11 > 0\) là \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\)

Kết hợp hai tập nghiệm \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right]\) và \(\left( { - \frac{{11}}{2};1} \right)\), ta có tập nghiệm của hai bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x + 10 \ge 0\) và \( - 2{x^2} - 9x + 11 > 0\) là \(\left[ { - 1;\frac{{10}}{3}} \right] \cap \left( { - \frac{{11}}{2};1} \right) = \left[ { - 1;1} \right)\)