Bài 3.18 trang 171 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

$\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)}$ $= \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \left. {\dfrac{{x\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}$ $= \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} =  - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} =  - \dfrac{1}{2}$

LG câu b

b) $\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

$\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)}$ $= \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - 2x}}dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \left. { - \dfrac{{x{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - 2x}}dx}$ $=  - \dfrac{{\ln 2.{e^{ - 2\ln 2}}}}{2} - \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}$ $=  - \dfrac{{\ln 2}}{8} + \dfrac{3}{{16}}$

LG câu c

c) $\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

$\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)}$ $= \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.$

$\Rightarrow I = \left. {x\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{2x}}{{2x + 1}}dx}$ $= \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)dx}$ $= \ln 3 - \left. {\left( {x - \dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{2}} \right)} \right|_0^1$ $= \ln 3 - \left( {1 - \dfrac{{\ln 3}}{2}} \right) = \dfrac{3}{2}\ln 3 - 1$

LG câu d

d) $\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

$\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)}$ $= \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx}$ $= \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx}  - \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx}$ $= J - K$ với $J = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx}$ và $K = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx}$.

+) Tính $J = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x - 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x - 1}}\\v = x\end{array} \right.$

$\Rightarrow J = \left. {x\ln \left( {x - 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x - 1}}dx}$ $= 3\ln 2 - \int\limits_2^3 {\left( {1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)dx}$ $= 3\ln 2 - \left. {\left( {x + \ln \left( {x - 1} \right)} \right)} \right|_2^3$ $= 3\ln 2 - 3 - \ln 2 + 2$ $= 2\ln 2 - 1$.

+) Tính $K = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}\\v = x\end{array} \right.$

$\Rightarrow K = \left. {x\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x + 1}}dx}$ $= 3\ln 4 - 2\ln 3 - \int\limits_2^3 {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$ $= 6\ln 2 - 2\ln 3 - \left. {\left( {x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_2^3$ $= 6\ln 2 - 2\ln 3 - 3 + \ln 4 + 2 - \ln 3$ $= 8\ln 2 - 3\ln 3 - 1$.

$\Rightarrow I = J - K$ $= 2\ln 2 - 1 - \left( {8\ln 2 - 3\ln 3 - 1} \right)$ $= 3\ln 3 - 6\ln 2$

LG câu e

e) $\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

$\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)}$ $= \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx}$$= \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx}$ $= J + K$ với $J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx$ và $K = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx}$

+) Tính $J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{x + \dfrac{1}{x}}}\\dv = dx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\\v = x\end{array} \right.$

$\Rightarrow J = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx}$ $= \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - K$ $= 2{e^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K$

Suy ra $I = J + K$ $= \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K + K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}}$.

LG câu g

g) $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

$\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)}$ $= \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)}$

Lời giải chi tiết:

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx}$

Đặt  $u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx$ $\Rightarrow du = dx$. Ta tìm $v = \int {\cos x{{\sin }^2}xdx}$.

Đặt $\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx$

$\Rightarrow \int {\cos x{{\sin }^2}xdx}  = \int {{t^2}dt}$ $= \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C$

Chọn $v = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}$ ta có:

$I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx}$$= \left. {\dfrac{{x{{\sin }^3}x}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}dx}$ $= \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx}$ $= \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J$

Đặt $\cos x = t \Rightarrow dt =  - \sin xdx$

$\Rightarrow J = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right).\left( { - dt} \right)}$ $= \int\limits_0^1 {\left( {1 - {t^2}} \right)dt}$ $= \left. {\left( {t - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{2}{3}$

Vậy $I = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J$ $= \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{2}{9}$.

Loigiaihay.com