Bài 3.23 trang 172 SBT giải tích 12

LG câu a

a) Chứng minh rằng ${I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $u = {\sin ^{n - 1}}x$ và $dv = \sin xdx$

Giải chi tiết:

Xét với $n > 2$, ta có: ${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx}$

Dùng tích phân từng phần với $u = {\sin ^{n - 1}}x$ và $dv = \sin xdx$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}du = \left( {n - 1} \right){\sin ^{n - 2}}x\cos xdx\\v =  - \cos x\end{array} \right.$

${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}$$= \left. { - \cos x{{\sin }^{n - 1}}x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}$ $+ (n - 1)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx}$

$= \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x} \right)dx}$$= \left( {n - 1} \right){I_{n - 2}} - \left( {n - 1} \right){I_n}$

Vậy ${I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}}$

LG câu b

b) Tính ${I_3}$ và ${I_5}$.

Phương pháp giải:

Thay $n = 3,n = 5$ vào tính ${I_3},{I_5}$.

Giải chi tiết:

Ta có: ${I_1} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}$$= \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1$.

Suy ra ${I_3} = \dfrac{{3 - 1}}{3}{I_1} = \dfrac{2}{3}.1 = \dfrac{2}{3}$; ${I_5} = \dfrac{{5 - 1}}{5}{I_3} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{15}}$.

Vậy ${I_3} = \dfrac{2}{3},{I_5} = \dfrac{8}{{15}}$.

Loigiaihay.com