Bài 3.22 trang 172 SBT giải tích 12

Đề bài

Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Chứng minh rằng: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}$

Lời giải chi tiết

Đổi biến số $x = \dfrac{\pi }{2} - t$, ta được: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}$$=  - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left[ {\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - t} \right)} \right]dt}$ $= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos t)dt}$

Hay $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\sin x)dx}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(\cos x)dx}$

Loigiaihay.com