Bài 3.19 trang 171 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)} dx$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, chú ý $\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - \sin x$.

Giải chi tiết:

Ta có: $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)} dx$ $=  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\sin x} dx$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.$

$\Rightarrow I =  - \left[ { - \left. {\left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\cos xdx} } \right]$ $=  - \left( {1 + \left. {\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}} \right) =  - \left( {1 + 1} \right) =  - 2$

LG câu b

b) $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)dx}$

Phương pháp giải:

Biến đổi $\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}(x + 1)$$= \dfrac{1}{{\ln 2}}\left[ {x\ln (x + 1) + \dfrac{{\ln (x + 1)}}{{x + 1}}} \right]$ rồi chia thành các tích phân nhỏ, sử dụng phương pháp tích phân từng phần và đổi biến để tính.

Giải chi tiết:

Ta có: $\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}(x + 1)$$= \left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right).\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{\ln 2}}$ $= \dfrac{1}{{\ln 2}}\left[ {x\ln (x + 1) + \dfrac{{\ln (x + 1)}}{{x + 1}}} \right]$

Khi đó $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)dx}$ $= \dfrac{1}{{\ln 2}}\int\limits_0^1 {x\ln \left( {x + 1} \right)dx}$ $+ \dfrac{1}{{\ln 2}}\int\limits_0^1 {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx}$

Tính $J = \int\limits_0^1 {x\ln \left( {x + 1} \right)dx}$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = xdx\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{x + 1}}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$

$\Rightarrow J = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx}$ $= \dfrac{{\ln 2}}{2} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {x - 1 + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx}$ $= \dfrac{1}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_0^1$

$= \dfrac{1}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2} - 1 + \ln 2} \right)$ $= \dfrac{1}{4}$

Tính $K = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx}$.

Đặt $\ln \left( {x + 1} \right) = t \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}$ $\Rightarrow K = \int\limits_0^{\ln 2} {tdt}  = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^{\ln 2} = \dfrac{{{{\ln }^2}2}}{2}$

Vậy $I = \dfrac{1}{{\ln 2}}J + \dfrac{1}{{\ln 2}}K$ $= \dfrac{1}{{4\ln 2}} + \dfrac{{\ln 2}}{2}$.

LG câu c

c) $I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx$

Phương pháp giải:

- Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với ${x^2}$.

- Đổi biến $t = x + \dfrac{1}{x}$ và tính tích phân.

Giải chi tiết:

Đặt $t = x + \dfrac{1}{x}$$\Rightarrow dt = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}dx = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}dx$ và ${t^2} = {x^2} + 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{x^2}}} + 2$ $\Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + 1}} = \dfrac{1}{{{t^2} - 2}}$.

Khi đó $I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}} dx$$= \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{{x^4} + 1}}.\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}dx}$ $= \int\limits_{\dfrac{5}{2}}^2 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 2}}}$ $= \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{\dfrac{5}{2}}^2 {\left( {\dfrac{1}{{t - \sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{t + \sqrt 2 }}} \right)dt}$

$= \left. {\ln \left| {\dfrac{{t - \sqrt 2 }}{{t + \sqrt 2 }}} \right|} \right|_{\dfrac{5}{2}}^2 = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \dfrac{{6 - \sqrt 2 }}{{6 + \sqrt 2 }}$.

LG câu d

d) $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}}$

Phương pháp giải:

- Biến đổi $\dfrac{{\sin 2x}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}$$= \dfrac{{\sin x\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}$.

- Đổi biến $t = \sin x$ và tính tích phân.

Giải chi tiết:

Ta có: $\dfrac{{\sin 2x}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}$ $= \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{3 + 4\sin x - 1 + 2{{\sin }^2}x}}$ $= \dfrac{{\sin x\cos x}}{{{{\sin }^2} + 2\sin x + 1}}$ $= \dfrac{{\sin x\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}$

Khi đó $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin x\cos x}}{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}dx}$.

Đặt $\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx$.

$\Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{tdt}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}}$ $= \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{t + 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}} \right)dt}$ $= \left. {\left[ {\ln \left( {t + 1} \right) + \dfrac{1}{{t + 1}}} \right]} \right|_0^1$ $= \ln 2 + \dfrac{1}{2} - 1 = \ln 2 - \dfrac{1}{2}$.

Loigiaihay.com