Bài 3.21 trang 172 SBT giải tích 12

Đề bài

Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - a;a} \right]$. Chứng minh rằng:

$\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

(1): nếu $f$ là hàm số chẵn.

(2): nếu $f$ là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: $\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx}$

Lời giải chi tiết

Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn trên đoạn $\left[ { - a;a} \right]$, ta có: $\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx}  = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  + \int\limits_0^a {f(x)dx}$

Đổi biến $x =  - t$ đối với tích phân $\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}$, ta được:

$\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  =  - \int\limits_a^0 {f( - t)dt}$$= \int\limits_0^a {f(t)dt}  = \int\limits_0^a {f(x)dx}$

Vậy $\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} }$

Trường hợp sau chứng minh tương tự.

Áp dụng:

Ta có: $g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right)$$= \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)$ $= \ln \left( {\dfrac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)$ $=  - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) =  - g\left( x \right)$

Nên $g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)$ là hàm số lẻ trên đoạn $\left[ { - 2;2} \right]$ nên $\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0}$

Loigiaihay.com