Bài 3.20 trang 172 SBT giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right)$ cho bởi $f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}$ là hàm số chẵn.

Lời giải chi tiết

Đặt $t =  - {\rm{ }}s$ ta có $dt =  - ds$, đổi cận $t = 0 \Rightarrow s = 0$, $t = x \Rightarrow s =  - x$.

Suy ra $f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt}$ $= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{{ - s}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}\left( { - ds} \right)}$$= \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{s}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}ds}  = f\left( { - x} \right)$

Do đó $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$, suy ra hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm số chẵn.

Loigiaihay.com