Bài 3.17 trang 170 SBT giải tích 12

LG câu a

a) $\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx}$  (đặt  $t = 1 - x$)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

$\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx}$

Đặt $t = 1 - x$$\Rightarrow dt =  - dx$

Đổi cận: $x = 1 \Rightarrow t = 0$, $x = 2 \Rightarrow t =  - 1$

Khi đó $\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx}$$= \int\limits_0^{ - 1} {\left( {1 - t} \right).{t^5}\left( { - dt} \right)}$ $= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{t^5} - {t^6}} \right)dt}$ $= \left. {\left( {\dfrac{{{t^6}}}{6} - \dfrac{{{t^7}}}{7}} \right)} \right|_{ - 1}^0$ $= 0 - \dfrac{1}{6} + \dfrac{{ - 1}}{7} =  - \dfrac{{13}}{{42}}$

LG câu b

b) $\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx}$    (đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1}$)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

$\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx}$

Đặt $t = \sqrt {{e^x} - 1}$$\Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx$ $\Rightarrow dx = \dfrac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \dfrac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}$

Đổi cận: $x = 0 \Rightarrow t = 0$, $x = \ln 2 \Rightarrow t = 1$.

Khi đó $\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx}$$= \int\limits_0^1 {t.\dfrac{{2t}}{{{t^2} + 1}}dt}$ $= \int\limits_0^1 {\left( {2 - \dfrac{2}{{{t^2} + 1}}} \right)dt}$ $= 2 - 2\int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}}$

Xét $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}}$. Đặt $t = \tan u \Rightarrow dt = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du$.

Đổi cận $t = 0 \Rightarrow u = 0$, $t = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}$.

Khi đó $I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}}$$= \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{1 + {{\tan }^2}u}}{{{{\tan }^2}u + 1}}du}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {du}  = \dfrac{\pi }{4}$

Suy ra $\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx}$$= 2 - 2.\dfrac{\pi }{4} = 2 - \dfrac{\pi }{2}$.

LG câu c

c) $\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx}$  (đặt $t = \sqrt[3]{{1 - x}}$)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

$\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx}$

Đặt $t = \sqrt[3]{{1 - x}}$ $\Rightarrow {t^3} = 1 - x \Rightarrow 3{t^2}dt =  - dx$

Đổi cận $x = 1 \Rightarrow t = 0$, $x = 9 \Rightarrow t =  - 2$

Khi đó $\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx}$$= \int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t\left( { - 3{t^2}dt} \right)}$ $= 3\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{t^3} - {t^6}} \right)dt}$ $= 3\left. {\left( {\dfrac{{{t^4}}}{4} - \dfrac{{{t^7}}}{7}} \right)} \right|_{ - 2}^0$ $=  - 3\left( {\dfrac{{16}}{4} + \dfrac{{{2^7}}}{7}} \right) =  - \dfrac{{468}}{7}$.

LG câu d

d) $\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$    (đặt  $x = \pi  - t$)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

$\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$

Đặt $x = \pi  - t$, ta suy ra:

$\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$$= \int\limits_\pi ^0 {\dfrac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin \left( {\pi  - t} \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( {\pi  - t} \right)}}\left( { - dt} \right)}$$= \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}dt}$ $= \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\left( {\pi  - x} \right)\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$

$= \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  - \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$

$\Rightarrow 2\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$ $\Leftrightarrow \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$

Xét $I = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$, đặt $u = \cos x \Rightarrow du =  - \sin xdx$.

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow u = 1,$ $x = \pi  \Rightarrow u =  - 1$. Khi đó

$I = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}$$= \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{ - du}}{{1 + {u^2}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}}$

Đặt $u = \tan t$ $\Rightarrow du = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt$. Đổi cận $u =  - 1 \Rightarrow t =  - \dfrac{\pi }{4},$ $u = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}$.

Khi đó $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}}  = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {dt}  = \dfrac{\pi }{2}$

Vậy $\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}.I = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}$.

LG câu e

e) $\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

$\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx}$

Đặt $t = 1 - {x^3} \Rightarrow dt =  - 3{x^2}dx$ $\Rightarrow {x^2}dx =  - \dfrac{{dt}}{3}$.

Đổi cận $x =  - 1 \Rightarrow t = 2$, $x = 1 \Rightarrow t = 0$. Khi đó

$\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx}$$= \int\limits_2^0 {{t^4}.\left( { - \dfrac{{dt}}{3}} \right)}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {{t^4}dt}$ $= \dfrac{1}{3}\left. {\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{32}}{{15}}$.

Loigiaihay.com