Giải bài 31 trang 74 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và điểm A(2 ; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM = \(\sqrt {17} \)

b) Tìm toạ độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất

Lời giải chi tiết

Do \(M,N \in \Delta \) nên \(M(4 + t; - 1 + 2t)\) và \(N(4 + k; - 1 + 2k)\)

a) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t + 2;2t - 2)\)

Theo giả thiết, AM = \(\sqrt {17} \) \( \Rightarrow A{M^2} = 17 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {(2t - 2)^2} = 17\)\( \Leftrightarrow 5{t^2} - 4t - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = \frac{9}{5}\end{array} \right.\)

Với t = -1 thì \(M(3; - 3)\)

Với \(t = \frac{9}{5}\) thì \(M\left( {\frac{{29}}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là \(M(3; - 3)\) và \(M\left( {\frac{{29}}{5};\frac{{13}}{5}} \right)\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AN}  = (k + 2;2k - 2)\)

\(AN = \sqrt {{{\left( {k + 2} \right)}^2} + {{(2k - 2)}^2}} \)\( \Leftrightarrow A{N^2} = {\left( {k + 2} \right)^2} + {(2k - 2)^2} \Leftrightarrow A{N^2} = 5{k^2} - 4k + 8\)

AN nhỏ nhất \( \Leftrightarrow A{N^2} = 5{k^2} - 4k + 8\) nhỏ nhất

Ta có: \(5{k^2} - 4k + 8 = 5{\left( {k - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{44}}{5}\)\( \Rightarrow A{N^2} \ge \frac{{44}}{5} \Rightarrow AN \ge \frac{{2\sqrt {55} }}{5}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(k = \frac{2}{5}\) \( \Rightarrow N\left( {\frac{{22}}{5}; - \frac{1}{5}} \right)\)