Giải bài 31 trang 74 SBT toán 10 - Cánh diều

Đề bài

Cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.$ và điểm A(2 ; 1). Hai điểm M, N nằm trên ∆.

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM = $\sqrt {17}$

b) Tìm toạ độ điểm N sao cho đoạn thẳng AN ngắn nhất

Lời giải chi tiết

Do $M,N \in \Delta$ nên $M(4 + t; - 1 + 2t)$ và $N(4 + k; - 1 + 2k)$

a) Ta có: $\overrightarrow {AM}  = (t + 2;2t - 2)$

Theo giả thiết, AM = $\sqrt {17}$ $\Rightarrow A{M^2} = 17 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} + {(2t - 2)^2} = 17$$\Leftrightarrow 5{t^2} - 4t - 9 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = \frac{9}{5}\end{array} \right.$

Với t = -1 thì $M(3; - 3)$

Với $t = \frac{9}{5}$ thì $M\left( {\frac{{29}}{5};\frac{{13}}{5}} \right)$

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là $M(3; - 3)$ và $M\left( {\frac{{29}}{5};\frac{{13}}{5}} \right)$

b) Ta có: $\overrightarrow {AN}  = (k + 2;2k - 2)$

$AN = \sqrt {{{\left( {k + 2} \right)}^2} + {{(2k - 2)}^2}}$$\Leftrightarrow A{N^2} = {\left( {k + 2} \right)^2} + {(2k - 2)^2} \Leftrightarrow A{N^2} = 5{k^2} - 4k + 8$

AN nhỏ nhất $\Leftrightarrow A{N^2} = 5{k^2} - 4k + 8$ nhỏ nhất

Ta có: $5{k^2} - 4k + 8 = 5{\left( {k - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{44}}{5}$$\Rightarrow A{N^2} \ge \frac{{44}}{5} \Rightarrow AN \ge \frac{{2\sqrt {55} }}{5}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $k = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow N\left( {\frac{{22}}{5}; - \frac{1}{5}} \right)$