Giải bài 30 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - m = 0\).

a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi \({x_1};{x_2}\)là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 2m - 1;c =  - m\)

Ta có \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = 4{m^2} + 1\)

Mặt khác \(4{m^2} \ge 0;1 > 0\) nên \(\Delta  = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 4 > 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Do \(\Delta  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - 2m + 1;{x_1}.{x_2} =  - m\)

Ta có:

\(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} \\= {\left( { - 2m + 1} \right)^2} - 3\left( { - m} \right) \\= 4{m^2} - m + 1 \\= {\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}}\)

Do \({\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} \ge 0;\frac{{15}}{{16}} > 0\) nên \({\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} \ge \frac{{15}}{{16}}\) hay \(A \ge \frac{{15}}{{16}}\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\)

Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {2m - \frac{1}{4}} \right)^2} = 0\), suy ra \(m = \frac{1}{8}\).

Vậy A đạt GTNN bằng \(\frac{{15}}{{16}}\) khi \(m = \frac{1}{8}\).