Giải bài 28 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {k + 1} \right)x + {k^2} + 2k = 0\).

a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)và \(\left| {{x_1}} \right|.\left| {{x_2}} \right| = 1\).

b*) Tìm các giá trị k (\(k < 0\)) để phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 2\left( {k + 1} \right);c = {k^2} + 2k\), do đó \(b' = \frac{b}{2} = k + 1\).

Ta có \(\Delta ' = {\left( {k + 1} \right)^2} - 1.\left( {{k^2} + 2k} \right) = 1 > 0\).

Vì \(\Delta ' > 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

a) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - 2\left( {k + 1} \right);{x_1}.{x_2} = {k^2} + 2k\)

Ta có \(\left| {{x_1}} \right|.\left| {{x_2}} \right| = 1\) hay \(\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 1\),

do đó \(\left| {{k^2} + 2k} \right| = 1\)

suy ra \({k^2} + 2k = 1\) hoặc \({k^2} + 2k =  - 1\)

* \({k^2} + 2k = 1\) hay \({k^2} + 2k - 1 = 0\).

Ta có \(\Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 1} \right) = 2 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\(k =  - 1 - \sqrt 2 ;k =  - 1 + \sqrt 2 \)

* \({k^2} + 2k =  - 1\) hay \({k^2} + 2k + 1 = 0\).

Ta có \(\Delta ' = {1^2} - 1.1 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép: \(k =  - 1\).

Vậy \(k =  - 1 - \sqrt 2 ;k =  - 1 + \sqrt 2 \); \(k =  - 1\) là các giá trị cần tìm.

b) Để phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm thì \({x_1}{x_2} < 0\) và \({x_1} + {x_2} < 0\) hay \({k^2} + 2k < 0\) và \( - 2\left( {k + 1} \right) < 0\)

* \({k^2} + 2k < 0\) hay \(k\left( {k + 2} \right) < 0\)

Vì \(k < 0\) nên \(k + 2 > 0\), suy ra \(k >  - 2\).

* \( - 2\left( {k + 1} \right) < 0\) hay \(k + 1 > 0\), suy ra \(k >  - 1\)

Kết hợp với điều kiện \(k < 0\) ta tìm được \( - 1 < k < 0\).