Giải bài 3 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có \(G\left( {3; - 3;6} \right)\) là trọng tâm. Tìm toạ độ điểm \(A\) thoả mãn \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;4; - 2} \right)\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;b;c} \right)\).

\(G\) là trọng tâm của tứ diện \(OABC\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {G{\rm{O}}}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {G{\rm{O}}}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {G{\rm{O}}}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA}  =  - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GO} } \right)\end{array}\)

Ta có \(G\left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OG}  = \left( {3; - 3;6} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GO}  = \left( { - 3;3; - 6} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {GO}  = \left( {1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right);2 + 4 + 3;3 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right)} \right) = \left( { - 3;9; - 5} \right)\)

Do đó \(3\overrightarrow {GA}  = \left( {3; - 9;5} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  = \left( {1; - 3;\frac{5}{3}} \right)\).

Mặt khác \(\overrightarrow {GA}  = \left( {a - 3;b + 3;c - 6} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 1\\b + 3 =  - 3\\c - 6 = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b =  - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)\).