Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {2;4;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),C\left( { - 1;4; - 7} \right)\) và \(D'\left( {6;8;10} \right)\). Tìm toạ độ của điểm \(B'\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(D\left( {{x_D};{y_D};{z_D}} \right)\). Ta có

\(\overrightarrow {AD}  = \left( {{x_D} - 2;{y_D} - 4;{z_D}} \right)\).

\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1 - 4;4 - 0; - 7 - 0} \right) = \left( { - 5;4; - 7} \right)\).

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 2 =  - 5\\{y_D} - 4 = 4\\{z_D} =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} =  - 3\\{y_D} = 8\\{z_D} =  - 7\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( { - 3;8; - 7} \right)\).

Giả sử \(B'\left( {{x_{B'}};{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\). Ta có

\(\overrightarrow {BB'}  = \left( {{x_{B'}} - 4;{y_{B'}};{z_{B'}}} \right)\).

\(\overrightarrow {DD'}  = \left( {6 - \left( { - 3} \right);8 - 8;10 - \left( { - 7} \right)} \right) = \left( {9;0;17} \right)\).

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} - 4 = 9\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B'}} = 13\\{y_{B'}} = 0\\{z_{B'}} = 17\end{array} \right.\). Vậy \(B'\left( {13;0;17} \right)\).