Giải bài 28 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm họ nguyên hàm của mỗi hàm số sau

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + \frac{2}{x}\);

b) \(g\left( x \right) = \sin x - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 1\);

c) \(h\left( x \right) = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 2\sqrt x  + \sin x - 1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} - 2x + \frac{2}{x}} \right)dx}  = 3\int {{x^2}dx}  - 2\int {xdx}  + 2\int {\frac{{dx}}{x}} \)

\( = 3 \cdot \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2\ln \left| x \right| + C = {x^3} - {x^2} + 2\ln \left| x \right| + C\).

b) Ta có

\(\int {g\left( x \right)dx}  = \int {\left( {\sin x - \frac{3}{{{{\cos }^2}x}} + 1} \right)dx}  = \int {\sin xdx}  - 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  + \int {dx}  =  - \cos x - 3\tan x + x + C\).

c) Ta có

\(\begin{array}{l}\int {h\left( x \right)dx}  = \int {\left[ {{{\left( {3x - 1} \right)}^2} - 2\sqrt x  + \sin x - 1} \right]dx}  = \int {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx}  - 2\int {\sqrt x dx}  + \int {\sin dx}  - \int {dx} \\ = \frac{1}{3}\int {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}d\left( {3x - 1} \right)}  - 2 \cdot \frac{2}{3}x\sqrt x  + \cos x - x + C = \frac{1}{9}{\left( {3x - 1} \right)^3} - \frac{4}{3}x\sqrt x  + \cos x - x + C.\end{array}\)