TUYENSINH247 LÌ XÌ +100% TIỀN NẠP

X2 TIỀN NẠP TÀI KHOẢN HỌC TRỰC TUYẾN NGÀY 18-20/2

Chỉ còn 1 ngày
Xem chi tiết

Giải bài 25 trang 52 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (y = - frac{{{x^2} + x + 1}}{x}). b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d:y = - 2x + m) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Quảng cáo

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x2+x+1x.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d:y=2x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn AB ngắn nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm, tính các giới hạn tại vô cực, tìm tiệm cận (nếu có), lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Tìm m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt. Biểu diễn cạnh AB theo tham số m bằng các biến đổi.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: R{0}.

Sự biến thiên:

Ta có y=x11xy=1+1x2=1x2x2y=01x2x2=0x=±1 suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng (1;0)(0;1), nghịch biến trên từng khoảng (;1)(1;+).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (1;3) và điểm cực tiểu là (1;1).

Giới hạn tại vô cực limx+y=, limxy=+limx±[y(x1)]=limx±1x=0 suy ra đường thẳng y=2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số; limx0y=+, limx0+y= suy ra trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm I(0;1) làm tâm đối xứng.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

2x+m=x2+x+1xx2(1+m)x1=0(x0).(1).

Đường thẳng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt do phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu vì ac=1<0. Khi đó với x1,x2 là hai nghiệm phân biệt của (1) thì ta có thể giả sử A(x1;2x1+m)B(x2;2x2+m).

Ta có AB2=(x1x2)2+[(2x1+m)(2x2+m)]2=5[(x1+x2)24x1x2]

=5[(1+m)2+4]20m. Dấu “=” xảy ra khi m=1.

Vậy AB ngắn nhất khi m=1.

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

close