Giải bài 24 trang 51 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\). Tìm tọa độ tâm đối xứng I của đồ thị.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng \(d:y =  - x + m\) cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt.

c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị (H) tại mọi điểm M thuộc (H) luôn cắt hai tiệm cận của (H) tại hai điểm A và B và diện tích tam giác IAB không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Sự biến thiên:

Ta có \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,{\rm{ }}\forall x \ne 1\) suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng của tập xác định.

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 2\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 2\) suy ra đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) suy ra đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị nhận điểm \(I\left( {1;2} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (H):

\( - x + m = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - m} \right)x + m - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne 1} \right)\).

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (H) tại hai điểm phân biệt khi phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\1 + 1 - m + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 > 0\)

\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

c) Giả sử \(M\left( {t;\frac{{2t - 1}}{{t - 1}}} \right)\) thuộc (H) với \(t \ne 1\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại điểm M là

\(\Delta :y = y'\left( t \right)\left( {x - t} \right) + y\left( t \right) \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{2t - 1}}{{t - 1}}\).

Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại \(A\left( {1;\frac{{2t}}{{t - 1}}} \right)\), cắt tiệm cận ngang tại \(B\left( {2t - 1;2} \right)\).

Ta có \(IA = \frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}}\), \(IB = 2\left| {t - 1} \right|\). Suy ra diện tích tam giác IAB là \(\frac{1}{2}IA \cdot IB = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{\left| {t - 1} \right|}} \cdot 2\left| {t - 1} \right| = 2\).