Giải bài 2 trang 14 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{{{x^2}}}dx} \);

b) \(\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}dx} \);

c) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}}dx} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\int\limits_1^2 {\frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{{{x^2}}}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {{x^{ - 2}} - 2.\frac{1}{x}} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{1}{x} - 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = \left( { - \frac{1}{2} - 2\ln 2} \right) - \left( { - \frac{1}{1} - 2\ln 1} \right) = \frac{1}{2} - 2\ln 2\).

b)

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {x + 2 + \frac{1}{x}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \left( {\frac{{{2^2}}}{2} + 2.2 + \ln 2} \right) - \left( {\frac{{{1^2}}}{2} + 2.1 + \ln 1} \right) = \frac{7}{2} + \ln 2\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^4 {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}}dx}  = \int\limits_1^4 {\frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x  + 2}}dx}  = \int\limits_1^4 {\left( {\sqrt x  - 2} \right)dx}  = \int\limits_1^4 {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} - 2} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2x} \right)} \right|_1^4 = \left( {\frac{2}{3}{{.4}^{\frac{3}{2}}} - 2.4} \right) - \left( {\frac{2}{3}{{.1}^{\frac{3}{2}}} - 2.1} \right) =  - \frac{4}{3}\end{array}\)