Giải bài 1.9 trang 10 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một con lắc lò xo, gồm một vật nặng có khối lượng \(1\) kg được gắn vào một lò xo được cố định một đầu, dao động điều hòa với biên độ \(A = 0,24\) m và chu kì \(T = 4\) giây. Vị trí \(x\) (mét) của vật tại thời điểm \(t\) được cho bởi \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t} \right)\), trong đó \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T}\) là tần số góc và thời gian \(t\) tính bằng giây.

a) Tìm vị trí của vật tại thời điểm \(t\) và tại thời điểm \(t = 0,5\) giây.

b) Tìm vận tốc \(v\) của vật tại thời điểm \(t\) giây và tìm vận tốc của vật khi \(t = 0,5\) giây.

c) Tìm gia tốc \(a\) của vật.

d) Sử dụng định luật thứ hai của Newton \(F = ma\), tìm độ lớn và hướng của lực tác dụng lên vật khi \(t = 0,5\) giây.

e) Tìm thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí \(x =  - 0,12\) m. Tìm vận tốc của vật khi \(x =  - 0,12\) m.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\omega  = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}\). Suy ra \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t} \right) = 0,24\cos \frac{{\pi t}}{2}\)

a) Vị trí của vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(x\left( {0,5} \right) = 0,24\cos \frac{{0,5\pi }}{2} = \frac{3}{{25}}\sqrt 2 \) (m)

b) Vận tốc của vật là \(v\left( t \right) = x'\left( t \right) =  - 0,12\pi \sin \frac{{\pi t}}{2}\) (m/s).

Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(v\left( {0,5} \right) =  - 0,12\pi \sin \frac{{0,5\pi }}{2} = \frac{{ - 3}}{{50}}\pi \sqrt 2 \) (m/s).

c) Gia tốc của vật là \(a = v'\left( t \right) =  - \frac{3}{{50}}{\pi ^2}\cos \frac{{\pi t}}{2}\) (m/s²)

d) Lực tác dụng lên vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là

\(F\left( {0,5} \right) = m \cdot a\left( {0,5} \right) = 1 \cdot \left( { - \frac{3}{{50}}{\pi ^2}\cos \frac{{\pi  \cdot 0,5}}{2}} \right) =  - \frac{{3{\pi ^2}\sqrt 2 }}{{100}}\) (N)

Vậy độ lớn của lực tác dụng lên vật tại thời điểm \(t = 0,5\) giây là \(\frac{{3{\pi ^2}\sqrt 2 }}{{100}}\) (N) và có hướng ngược với chiều dương của trục đã chọn.

e) Vị trí ban đầu của vật là \(x\left( 0 \right) = 0,24\) (m) do đó vị trí ban đầu không trùng với vị trí \(x =  - 0,12\) m.

Xét vị trí \(x =  - 0,12\) m ta có: \(x\left( t \right) = 0,24\cos \frac{{\pi t}}{2} =  - 0,12 \Leftrightarrow \cos \frac{{\pi t}}{2} =  - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{2} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow t = \frac{4}{3} + 4k,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có \(t > 0\), do đó \(t\) dương nhỏ nhất khi \(k = 0\) hay \(t = \frac{4}{3}\).

Vậy thời gian tối thiểu để vật chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí \(x =  - 0,12\) m là \(t = \frac{4}{3}\) giây.