Giải bài 1.55 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) khi

A. \(m =  - 1\)

B. \(m =  - 3\)

C. \(m \in \left\{ { - 3; - 1} \right\}\)

D. \(m \in \emptyset \)

Lời giải chi tiết

Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\).

Suy ra:

\(\begin{array}{l}y'' = {\left[ {\frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}} \right]^\prime } = \frac{{\left( {2x + 2m} \right){{\left( {x + m} \right)}^2} - 2\left( {x + m} \right)\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\{\rm{    }} = 2x + 2m - \frac{{2\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{x + m}}\end{array}\).

Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y'\left( 2 \right) = 0\) và \(y''\left( 2 \right) < 0\).

Ta có \(y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m \cdot 2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 4m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) hoặc \(m =  - 3\).

Với \(m =  - 1\) ta có \(y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 1} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2 > 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực tiểu của hàm số.

Với \(m =  - 3\) ta có \(y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 3} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 3}} =  - 2 < 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số.

Vậy để \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số thì \(m =  - 3\). Ta chọn đáp án B.