Giải bài 1.3 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = x + \frac{1}{x}\);

b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 1\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 1\) và \({y_{CĐ}} = y\left( -1 \right) = -2\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\).

b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)

Ta có \(y' = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 1\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và \({y_{CĐ}} = y\left( { - 1} \right) =  \frac{1}{2}\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và \({y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}\).