Bài 1.20 trang 16 SBT giải tích 12

LG a

$y = \sin 2x$

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$

- Tính $y'$, tìm nghiệm trong đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$.

- Tính $y''$ và xét dấu của $y''$ tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà $y''$ mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà $y''$ mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

$y = \sin 2x$               

Hàm số có chu kỳ $T = \pi$

Xét hàm số $y = \sin 2x$ trên đoạn ${\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$ , ta có:

$y' = 2\cos 2x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0$ $\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}$

Mà $x\in [0;\pi] \Rightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} \hfill \cr  x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.$

Lại có: $y'' =  - 4\sin 2x$;

$y''\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 4 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = \dfrac{\pi }{4}$ và ${y_{CD}} = y({\pi  \over 4}) = 1$

$y''\left( {\dfrac{3\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\dfrac{3\pi }{4}} \right) =  4 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = \dfrac{3\pi }{4}$ và ${y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) =  - 1$

Vậy trên R ta có:

${y_{CĐ}} = y({\pi  \over 4} + k\pi ) = 1;$

${y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) =  - 1,k \in Z$

Cách khác:

y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y' = 2cos2x

y' = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và y_CD = y(π/4) = 1; y_CT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

y_CĐ = y(π/4 + kπ) = 1;

y_CT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z.

LG b

$y = \cos x - \sin x$

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn ${\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}$

- Tính $y'$, tìm nghiệm trong đoạn ${\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}$.

- Tính $y''$ và xét dấu của $y''$ tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà $y''$ mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà $y''$ mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

Hàm số tuần hoàn chu kỳ $\pi$ nên ta xét trên đoạn ${\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}$.

Ta có: $y' =  - \sin x - \cos x = 0$ $\Leftrightarrow \sin x =  - \cos x$ $\Leftrightarrow \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi$.

Do $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ nên $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.$.

Lại có $y'' =  - \cos x + \sin x$;

+) $y''\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2  < 0$ nên $x =  - \dfrac{\pi }{4}$ là điểm cực đại của hàm số và ${y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2$.

+) $y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) + \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 2  > 0$ nên $x = \dfrac{{3\pi }}{4}$ là điểm cực tiểu của hàm số và ${y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \sqrt 2$.

Vậy trên $\mathbb{R}$ thì ${x_{CD}} =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi$ là điểm cực đại của hàm số và ${y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \sqrt 2$; ${x_{CT}} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi$ là điểm cực tiểu của hàm số và ${y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) =  - \sqrt 2$

Cách khác:

Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

y_CĐ = y(−π4 + k2π) = √2;

y_CT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

LG c

$y = {\sin ^2}x$

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$

- Tính $y'$, tìm nghiệm trong đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ $\pi$.

Ta xét hàm số $y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x$ trên đoạn ${\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}$.

y′ = sin2x

$y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}$

Vì $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ nên $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \end{array} \right.$.

Lập bảng biến thiên trên đoạn $\left[ {0,\pi } \right]$

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x = k.{\pi  \over 2}$ với $k$ chẵn, đạt cực đại tại $x = k.{\pi  \over 2}$ với $k$ lẻ, và ${y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0$; ${y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi  \over 2}) = 1(m \in Z)$.

Loigiaihay.com