Bài 1.23 trang 16 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định m để hàm số: $y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5$  có cực trị tại $x = 1$. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Lời giải chi tiết

$y = {x^3} - m{x^2} + \left( {m - \dfrac{2}{3}} \right)x + 5$

Ta có:  $y' = 3{x^2} - 2mx + m - \dfrac{2}{3}$

Hàm số có cực trị tại $x = 1$$\Rightarrow y'\left( 1 \right) = 3 - 2m + m - \dfrac{2}{3} = 0$$\Leftrightarrow m = \dfrac{7}{3}$.

Thử lại, với $m = \dfrac{7}{3}$ thì hàm số đã cho trở thành: $y = {x^3} - \dfrac{7}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}x + 5$

Ta có:  $y' = 3{x^2} - \dfrac{{14}}{3}x + \dfrac{5}{3}$; $y'' = 6x - \dfrac{{14}}{3}$

Vì $y''\left( 1 \right) = 6 - \dfrac{{14}}{3} > 0$  nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và  ${y_{CT}} = y\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}$.

Loigiaihay.com