Bài 1.25 trang 16 SBT giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số $m$ để hàm số sau không có cực trị: $y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} + 2mx - 3}}{{x - m}}$, TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

$y' = \dfrac{{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$$= \dfrac{{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$$= \dfrac{{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}$

Hàm số không có cực trị nếu đạo hàm của nó không đổi dấu trên $D$.

Xét  $g\left( x \right) = {x^2}-2mx-2{m^2} + 3$ là tam thức bậc hai hệ số $a > 0$ nên nếu nó không đổi dấu với mọi $x \ne m$ thì $\Delta ' = {m^2} + 2{m^2} - 3 \le 0$$\Leftrightarrow 3{m^2} - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 1$.

Khi $-1 < m < 1$ thì phương trình $g\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hay $y' = 0$ vô nghiệm và $y'\; > 0$ với mọi $x \ne m$. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi $m = 1$ hoặc $m =  - 1$, hàm số đã cho trở thành $y = x + 3$ (với $x \ne 1$) hoặc $y = x-3$ (với$x \ne  - 1$). Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi $-1 \le m \le 1$.

Loigiaihay.com