Bài 1.24 trang 16 SBT giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số: $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Lời giải chi tiết

Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x;x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2};x < 0}\end{array}} \right.$ không có đạo hàm tại $x = 0$ vì:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} =  - 2$,

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}$

Vì $- 2 \ne \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}$

Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}$ nên không có đạo hàm của hàm số tại $x=0$.

Mặt khác, với $x < 0\;$ thì $y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}$, với $x > 0$ thì $y' =  - 2 < 0$

Xét trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ ta có bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0$.

Loigiaihay.com