Bài 1.18 trang 15 SBT giải tích 12

LG a

$\displaystyle y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ : R

$y' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'\left( {{x^2} + 8} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 8} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} + 8} \right)}^2}}}$ $= {{{x^2} + 8 - 2x(x + 1)} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x + 8} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}}$

$y' = 0  \Leftrightarrow  - {x^2} - 2x + 8 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr  x = 2 \hfill \cr} \right.$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$, cực tiểu tại $x = - 4$ và ${y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) =  - {1 \over 8}$

LG câu b

$\displaystyle y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{2{x^2} - 4x + 2 - {x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ $= {{{x^2} - 2x - 1} \over {{{(x - 1)}^2}}}$

$y' = 0  \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr  x = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1 - \sqrt 2$ và đạt cực tiểu tại $x = 1 + \sqrt 2$ , ta có:

${y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) =  - 2\sqrt 2 ;$ ${y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2$.

LG c

$\displaystyle y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: R\{-1}

$y' = \frac{{\left( {{x^2} + x - 5} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \frac{{2{x^2} + 3x + 1 - {x^2} - x + 5}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= {{{x^2} + 2x + 6} \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1$

(vì $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2x + 6 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 > 0\\ {\left( {x + 1} \right)^2} > 0,\forall x \ne - 1 \end{array} \right.$)

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { -1;+ \infty } \right)$ do đó không có cực trị.

LG d

$\displaystyle y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}$

Lời giải chi tiết:

$y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}$

Vì ${x^2}-2x + 5>0,\forall x\in R$ nên hàm số xác định trên $R$.

$y' = \frac{{\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} \right]'\left( {{x^2} - 2x + 5} \right) - {{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}$ $= {{2(x - 4)({x^2} - 2x + 5) - {{(x - 4)}^2}(2x - 2)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}$ $= \frac{{2\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5} \right) - 2{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}$ $= \frac{{2\left( {x - 4} \right)\left[ {{x^2} - 2x + 5 - \left( {x - 4} \right)\left( {x - 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}$ $= \frac{{2\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} - 2x + 5 - {x^2} + 5x - 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}$ $= {{2(x - 4)(3x + 1)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}$

$y' = 0$

$\Leftrightarrow 2\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x + 1 = 0\\ x - 4 = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {1 \over 3} \hfill \cr  x = 4 \hfill \cr} \right.$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x =  - {1 \over 3}$ , đạt cực tiểu tại $x = 4$ và ${y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0$

Loigiaihay.com