Bài 1.12 trang 9 SBT giải tích 12

Đề bài

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$?

A. $3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0$

B. ${x^2} - 5x + 6 = 0$

C. ${x^5} + {x^3} - 7 = 0$

D. $3\tan x - 4 = 0$

Lời giải chi tiết

Đáp án C vì: Xét hàm $f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - 7$ có $f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}\left( {5{x^2} + 3} \right)$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ và $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Mặt khác $f\left( 0 \right) =  - 7 < 0,f\left( 2 \right) = 33 > 0$ nên $f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$ nên tồn tại ${x_0} \in \left( {0;2} \right)$ để $f\left( {{x_0}} \right) = 0$ hay phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nghiệm duy nhất trên $\mathbb{R}$.

Chọn C.

Chú ý:

Cách khác:

+) Phương trình $3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5 = 0$ $\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow 4\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0$ (vô nghiệm vì $0 \le {\sin ^2}x \le 1$) nên loại A.

+) Các phương trình ${x^2} - 5x + 6 = 0$ và $3\tan x - 4 = 0$ có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.

Chọn C.

Loigiaihay.com