Bài 8 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2 \cos^2 x$ là:

A. ${\pi  \over 6}$                B. ${{2\pi } \over 3}$

C. ${\pi  \over 4}$                D. ${\pi  \over 3}$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x$

$⇔ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x$

$⇔ sinx(1 + 2cosx) = cos (1 + 2cosx)$

$⇔ (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0$ 

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr \sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr \tan x = 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : $x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi  \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x =  - {{2\pi } \over 3} + k2\pi  \Rightarrow x =  - {{2\pi } \over 3} + 2\pi  = {{4\pi } \over 3}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: $x = {\pi  \over 4} + k\pi  \Rightarrow x = {\pi  \over 4}$

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là $x = {\pi  \over 4}$

Chọn đáp án C.

Cách khác:

Thay các nghiệm ở mỗi đáp án vào phương trình ta thấy chỉ có nghiệm $x = \frac{\pi }{4},x = \frac{{2\pi }}{3}$ thỏa mãn phương trình.

Do $\frac{\pi }{4} < \frac{{2\pi }}{3}$ nên ta chọn nghiệm $x = \frac{\pi }{4}$.

Loigiaihay.com