Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Lời giải chi tiết

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

Xét hiệu

\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)

\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)

Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)

Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)

Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)

hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Xét hiệu

\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)

\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)

Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)

Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.