Bài 10 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm số hạng đầu \({u_1}\), công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) \({u_6} = 192\) và \({u_7} = 384\)

b) \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 7\) và \({u_5} - {u_2} = 14\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({u_7} = {u_6}q\) hay \(384 = 192q \Leftrightarrow q = 2\).

\({u_6} = {u_1}{q^5} \Leftrightarrow 192 = {u_1}{.2^5} \Leftrightarrow {u_1} = 6\).

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu $\mathrm{u}_1=6$ và công bội $\mathrm{q}=2$.

b) Ta có: $u_1+u_2+u_3=u_1+u_1 \cdot q+u_1 \cdot q^2=7$

$\Leftrightarrow \mathrm{u}_1\left(1+\mathrm{q}+\mathrm{q}^2\right)=7$

Và $u_5-u_2=u_1 \cdot q^4-u_1 \cdot q=14$

$\Leftrightarrow \mathrm{u}_1 \mathrm{q}\left(\mathrm{q}^3-1\right)=14$

Suy ra: $\frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_1 q\left(q^3-1\right)}=\frac{7}{14}$

$\Leftrightarrow \frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_1 q(q-1)\left(1+q+q^2\right)}=\frac{7}{14}\\ \Leftrightarrow 2=q(q-1) \\ \Leftrightarrow q^2-q-2=0$

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{q =  - 1}\\{q = 2}\end{array}} \right.\)

Với \(q =  - 1\) thì \({u_1} = 7\).

Với \(q = 2\) thì \({u_1} = 1\).