Bài 7 trang 33 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong Hình 13, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, $\alpha$ là góc lượng giác $(Tx,{\rm{ }}TA)$ $(0 < \alpha  < \pi ).$

a) Biểu diễn toạ độ ${x_H}$ của điểm H trên trục ${T_x}$ theo $\alpha$.

b) Dựa vào đồ thị hàm số côtang, hãy cho biết với $\frac{\pi }{6} < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}$ thì ${x_H}$ nằm trong khoảng nào. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AHT vuông tại H có:

$\cot \alpha  = \frac{{TH}}{{AH}} \Leftrightarrow TH = AH.\cot \alpha  = 500.\cot \alpha$

Vậy trên trục ${T_x}$ tọa độ ${x_H} = 500.\cot \alpha$.

b) Ta có đồ thị của hàm số$y = cot\alpha$trong khoảng $\frac{\pi }{6} < \alpha  < \frac{{2\pi }}{3}$ là:

Khi đó $-\;\frac{1}{{\sqrt 3 }} < cot\alpha  < \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow -\;\frac{{500}}{{\sqrt 3 }} < 500.cot\alpha  < \frac{{500}}{{\sqrt 3 }}$

$\Leftrightarrow -\;\frac{{500}}{{\sqrt 3 }} < {x_H} < \frac{{500}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow  - 288,7 < {x_H} < 288,7$.

Vậy ${x_H}\; \in \;\{  - 288,7;288,7\}$.