Bài 4 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA = a$ (Hình 78).

a) Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến đường thẳng $C{\rm{D}}$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

c) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot C{\rm{D}}$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow A{\rm{D}} \bot C{\rm{D}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot S{\rm{D}}\\ \Rightarrow d\left( {S,C{\rm{D}}} \right) = S{\rm{D}} = \sqrt {S{A^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = a\sqrt 2 \end{array}$

b) $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot A{\rm{D}}$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow A{\rm{B}} \bot A{\rm{D}}$

$\Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{B}}} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = A{\rm{D}} = a$

c) Kẻ $AH \bot S{\rm{D}}\left( {H \in S{\rm{D}}} \right)$.

$C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AH$

$\Rightarrow AH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = AH$

Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$

$\Rightarrow AH = \frac{{SA.A{\rm{D}}}}{{S{\rm{D}}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vậy $d\left( {A,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.