Bài 2 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AB = a,BC = b,BD = c$,$\widehat {ABC} = \widehat {ABD} = \widehat {BCD} = {90^ \circ }$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,AD$ (Hình 77).

a) Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $AB$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C{\rm{D}}$.

Lời giải chi tiết

a) $\widehat {ABC} = {90^ \circ } \Rightarrow AB \bot BC \Rightarrow d\left( {C,AB} \right) = BC = b$.

b)

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\widehat {ABC} = {90^ \circ } \Rightarrow AB \bot BC\\\widehat {ABD} = {90^ \circ } \Rightarrow AB \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AB \bot C{\rm{D}}\\\widehat {BC{\rm{D}}} = {90^ \circ } \Rightarrow BC \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {ABC} \right)\\ \Rightarrow d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = C{\rm{D}} = \sqrt {B{{\rm{D}}^2} - B{C^2}}  = \sqrt {{c^2} - {b^2}} \end{array}$

c) $AB \bot BC,C{\rm{D}} \bot BC \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = BC = b$.