Bài 3 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Với giả thiết ở Bài tập 2, hãy:

a) Chứng minh rằng $MN\parallel BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $BC$.

b) Chứng minh rằng $MP\parallel \left( {BCD} \right)$. Tính khoảng cách từ đường thẳng $MP$ đến mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$.

c) Chứng minh rằng $\left( {MNP} \right)\parallel \left( {BCD} \right)$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) $M$ là trung điểm của $AB$

$N$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MN\parallel BC$

$AB \bot BC \Rightarrow MB \bot BC \Rightarrow d\left( {MN,BC} \right) = MB = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

b) $M$ là trung điểm của $AB$

$P$ là trung điểm của $A{\rm{D}}$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình của tam giác $ABD$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MP\parallel BD\\B{\rm{D}} \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MP\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

$AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow MB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow d\left( {MP,\left( {BCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {BCD} \right)} \right) = MB = \frac{a}{2}$

c)

$\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel BC\\B{\rm{C}} \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MP\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN,MP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNP} \right)\parallel \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

$\Rightarrow d\left( {\left( {MNP} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {BCD} \right)} \right) = MB = \frac{a}{2}$